【決定系數來源】在統計學中，決定系數（R2）是一個重要的指標，用于衡量回歸模型對因變量的解釋能力。它反映了自變量變化對因變量變化的解釋比例，是評估模型擬合優度的關鍵參數之一。本文將從定義、計算方式、應用場景以及相關概念等方面，系統總結決定系數的來源。
一、決定系數的定義
決定系數（R2）又稱擬合優度，表示回歸模型中自變量對因變量變異的解釋程度。其取值范圍為0到1，數值越高，說明模型對數據的擬合越好。
- R2 = 1 - (SS_res / SS_tot)
其中：
- SS_res：殘差平方和（Residual Sum of Squares），即實際觀測值與預測值之間的差異平方和。
- SS_tot：總平方和（Total Sum of Squares），即實際觀測值與均值之間的差異平方和。
二、決定系數的來源
決定系數的來源主要來自于回歸分析中的平方和分解過程。通過將總平方和（SS_total）分解為回歸平方和（SS_regression）和殘差平方和（SS_residual），可以得出決定系數的計算基礎。
| 概念 | 定義 | 計算公式 |
| 總平方和 | 觀測值與均值之間的差異平方和 | $ SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2 $ |
| 回歸平方和 | 預測值與均值之間的差異平方和 | $ SS_{\text{reg}} = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2 $ |
| 殘差平方和 | 實際值與預測值之間的差異平方和 | $ SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 $ |
| 決定系數 | 回歸平方和占總平方和的比例 | $ R^2 = \frac{SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} $ |
三、決定系數的應用場景
1. 線性回歸分析：最常見于簡單線性回歸和多元線性回歸中，用于評估模型對數據的擬合程度。
2. 模型比較：在多個模型之間進行比較時，R2可作為選擇更優模型的依據。
3. 變量選擇：高R2可能意味著某些變量對因變量有較強的影響，可用于變量篩選。
4. 預測效果評估：在預測模型中，R2可以反映模型的預測能力。
四、決定系數的局限性
盡管決定系數是常用的評估指標，但它也存在一定的局限性：
- 不能判斷因果關系：R2僅反映變量間的相關性，不能證明因果關系。
- 容易被高估：當模型包含過多變量時，R2可能會被高估，因此需使用調整后的R2（Adjusted R2）。
- 不適用于非線性模型：對于非線性模型，R2的解釋力可能不準確。
五、結論
決定系數（R2）的來源主要來自于回歸分析中的平方和分解，它是衡量模型擬合優度的重要工具。通過理解其定義、計算方式及應用范圍，可以幫助我們更好地評估和優化回歸模型。然而，在實際應用中，應結合其他指標（如調整R2、交叉驗證等）進行全面分析，以提高模型的可靠性與適用性。
