在數學中,復數是一種擴展了實數范圍的概念,它由實部和虛部組成,通常表示為 \( z = a + bi \),其中 \( a \) 是實部,\( b \) 是虛部,而 \( i \) 是虛數單位,滿足 \( i^2 = -1 \)。
當我們需要計算復數 \( z \) 的平方時,實際上就是將 \( z \) 乘以自身,即 \( z^2 = z \cdot z \)。接下來,我們詳細地推導這個過程:
假設 \( z = a + bi \),那么:
\[
z^2 = (a + bi)(a + bi)
\]
利用分配律展開:
\[
z^2 = a^2 + abi + abi + (bi)^2
\]
由于 \( i^2 = -1 \),所以 \( (bi)^2 = b^2 \cdot i^2 = -b^2 \)。因此,上式可以簡化為:
\[
z^2 = a^2 + 2abi - b^2
\]
進一步整理后,得到:
\[
z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi
\]
由此可見,復數 \( z \) 的平方仍然是一個復數,其結果由實部和虛部兩部分構成。具體來說:
- 實部為 \( a^2 - b^2 \)
- 虛部為 \( 2ab \)
示例
例如,若 \( z = 3 + 4i \),則:
\[
z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2
\]
\[
z^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i
\]
因此,\( z^2 = -7 + 24i \)。
通過上述推導與示例,我們可以清晰地看到復數平方的計算方法。掌握這一技巧對于深入學習復數及其應用至關重要。希望本文對你有所幫助!