在數學分析中，探討函數的性質是極為重要的一步。本文將圍繞“對勾函數”這一特殊類型的函數展開討論，并嘗試對其單調性進行嚴格的證明。

所謂“對勾函數”，通常是指形如 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $ 的函數，其中 $ a > 0 $ 是一個常數。這類函數因其圖像類似于漢字“勾”而得名。為了更好地理解其性質，我們首先需要明確單調性的定義。

單調性的定義

函數 $ f(x) $ 在區間 $ I $ 上是單調遞增的，當且僅當對于任意 $ x_1, x_2 \in I $，若 $ x_1 < x_2 $，則有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $。類似地，$ f(x) $ 在區間 $ I $ 上是單調遞減的，當且僅當對于任意 $ x_1, x_2 \in I $，若 $ x_1 < x_2 $，則有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $。

對勾函數的導數分析

要判斷對勾函數的單調性，最直觀的方法是通過求導來觀察其變化趨勢。計算 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $ 的一階導數：

$$

f'(x) = 1 - \frac{a}{x^2}.

$$

接下來，我們需要分析 $ f'(x) $ 的符號，以確定函數的單調性。

1. 當 $ x^2 > a $，即 $ |x| > \sqrt{a} $ 時，有 $ f'(x) > 0 $，表明函數在此區間內單調遞增。

2. 當 $ x^2 < a $，即 $ |x| < \sqrt{a} $ 時，有 $ f'(x) < 0 $，表明函數在此區間內單調遞減。

因此，我們可以得出結論：對勾函數 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $ 在區間 $ (-\infty, -\sqrt{a}] $ 和 $ [\sqrt{a}, +\infty) $ 上單調遞增，在區間 $ [-\sqrt{a}, 0) $ 和 $ (0, \sqrt{a}] $ 上單調遞減。

特殊點的討論

需要注意的是，函數 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 處沒有定義，因此不能直接討論 $ x = 0 $ 點附近的單調性。此外，在 $ x = \pm\sqrt{a} $ 處，導數 $ f'(x) = 0 $，這說明這兩個點可能是極值點。結合函數圖像可以驗證，$ x = -\sqrt{a} $ 是極大值點，而 $ x = \sqrt{a} $ 是極小值點。

結論

通過對勾函數的導數分析，我們得到了其單調性的完整描述。具體而言，對勾函數 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $ 在 $ (-\infty, -\sqrt{a}] $ 和 $ [\sqrt{a}, +\infty) $ 上單調遞增，在 $ [-\sqrt{a}, 0) $ 和 $ (0, \sqrt{a}] $ 上單調遞減。

希望本文能夠幫助讀者更深入地理解對勾函數的性質及其單調性的本質。