在線性代數的學習過程中，過渡矩陣是一個非常重要的概念。它用于描述從一個基到另一個基的轉換關系，是理解向量空間中不同坐標系之間變換的關鍵工具。掌握如何求解過渡矩陣，不僅有助于提升對線性變換的理解，還能在實際問題中發揮重要作用。

一、什么是過渡矩陣？

設 $ V $ 是一個 $ n $ 維向量空間，$ \mathcal{B} = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \} $ 和 $ \mathcal{C} = \{ \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n \} $ 是 $ V $ 中的兩個基。那么，從基 $ \mathcal{B} $ 到基 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣，就是這樣一個 $ n \times n $ 的矩陣 $ P $，使得對于任意一個向量 $ \mathbf{v} \in V $，若其在基 $ \mathcal{B} $ 下的坐標為 $ [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} $，則在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐標 $ [\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} $ 滿足：

$$

[\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = P [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

$$

換句話說，這個矩陣可以將一個向量在基 $ \mathcal{B} $ 下的表示轉換為在基 $ \mathcal{C} $ 下的表示。

二、過渡矩陣的求法

方法一：直接構造法

如果已知基 $ \mathcal{B} $ 和基 $ \mathcal{C} $，我們可以按照以下步驟來求出從 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣：

1. 將基 $ \mathcal{B} $ 中的每個向量用基 $ \mathcal{C} $ 表示。即，對每一個 $ \mathbf{b}_i \in \mathcal{B} $，找到其在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐標 $ [\mathbf{b}_i]_{\mathcal{C}} $。

2. 將這些坐標作為列向量，依次排列成矩陣，就得到了從 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣 $ P $。

例如，若 $ \mathbf{b}_1 = a_1 \mathbf{c}_1 + a_2 \mathbf{c}_2 + \cdots + a_n \mathbf{c}_n $，則 $ [\mathbf{b}_1]_{\mathcal{C}} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} $，以此類推。

方法二：利用標準基進行轉換

如果兩個基都是相對于標準基 $ \mathcal{E} $ 來說的，我們可以借助標準基來進行過渡矩陣的計算：

- 設 $ B $ 是由基 $ \mathcal{B} $ 構成的矩陣（即以 $ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n $ 為列向量），$ C $ 是由基 $ \mathcal{C} $ 構成的矩陣。

- 那么從 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣為：

$$

P = C^{-1} B

$$

這是因為：

$$

[\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = C^{-1} \mathbf{v} = C^{-1} B [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

$$

所以，$ P = C^{-1} B $。

三、實例解析

假設在二維空間中，基 $ \mathcal{B} = \{ (1, 0), (0, 1) \} $（即標準基），而基 $ \mathcal{C} = \{ (1, 1), (1, -1) \} $。

我們想求從 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣。

首先，寫出基 $ \mathcal{C} $ 對應的矩陣 $ C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $，而基 $ \mathcal{B} $ 對應的矩陣就是單位矩陣 $ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $。

因此，過渡矩陣為：

$$

P = C^{-1} B = C^{-1} I = C^{-1}

$$

計算 $ C^{-1} $：

$$

C^{-1} = \frac{1}{(1)(-1) - (1)(1)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}

$$

所以，從 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的過渡矩陣為：

$$

P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}

$$

四、總結

過渡矩陣是連接不同基之間的橋梁，它的求解方法主要包括直接構造和通過標準基進行轉換兩種方式。理解并掌握這一過程，有助于我們在更復雜的線性代數問題中靈活運用不同的坐標系，從而更深入地分析向量空間的結構與變換特性。