典型的Z變換公式推導

在信號處理與控制系統領域，Z變換是一種將離散時間信號從時域轉換到復頻域的重要工具。它不僅能夠簡化復雜問題的求解過程，還為分析和設計數字系統提供了強大的數學基礎。本文將詳細介紹Z變換的基本定義及其典型公式的推導過程。

Z變換的基本概念

Z變換可以看作是拉普拉斯變換的一種離散形式，其主要作用是將離散時間序列 \( x[n] \) 轉換為復變量 \( z \) 的函數 \( X(z) \)。定義如下：

\[

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n}

\]

其中，\( z \) 是一個復數，通常表示為 \( z = re^{j\omega} \)，\( r \) 為模值，\( \omega \) 為相角。這一定義適用于雙邊Z變換；對于單邊Z變換，則限制 \( n \geq 0 \)。

典型公式推導

1. 單位沖激函數的Z變換

單位沖激函數 \( \delta[n] \) 定義為：

\[

\delta[n] =

\begin{cases}

1, & n=0 \\

0, & n \neq 0

\end{cases}

\]

根據Z變換的定義，計算其Z變換：

\[

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta[n] z^{-n}

\]

由于 \( \delta[n] \) 在 \( n=0 \) 處取值為1，其余情況下均為0，因此：

\[

X(z) = z^0 = 1

\]

即單位沖激函數的Z變換結果為常數1。

2. 階躍函數的Z變換

階躍函數 \( u[n] \) 定義為：

\[

u[n] =

\begin{cases}

1, & n \geq 0 \\

0, & n < 0

\end{cases}

\]

同樣依據Z變換的定義進行推導：

\[

X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} u[n] z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^{-n}

\]

這是一個等比級數，首項為1，公比為 \( z^{-1} \)，收斂條件為 \( |z| > 1 \)。利用等比級數求和公式：

\[

X(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1}, \quad |z| > 1

\]

3. 指數函數的Z變換

指數函數 \( a^n u[n] \) 的Z變換同樣采用定義法：

\[

X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (a^n u[n]) z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} (a z^{-1})^n

\]

這是一個無窮等比級數，首項為1，公比為 \( az^{-1} \)，收斂條件為 \( |az^{-1}| < 1 \)，即 \( |z| > |a| \)。因此：

\[

X(z) = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \quad |z| > |a|

\]

總結

通過以上推導可以看出，Z變換的典型公式具有明確的形式化規律，且適用范圍嚴格依賴于收斂域。掌握這些基本公式有助于解決許多實際工程問題，并為進一步研究離散系統的穩定性、頻率響應等內容奠定堅實的基礎。

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