在數學分析中，函數的導數是一個非常重要的概念，它描述了函數在某一點處的變化率。當我們討論到反三角函數時，其中的arctanx（即反正切函數）也是一個常見的研究對象。那么，arctanx的導數是什么呢？

首先，我們需要明確arctanx的定義。arctanx是指正切函數y=tan(x)在區間(-π/2, π/2)上的反函數。這意味著如果y=arctanx，那么tan(y)=x，并且y的取值范圍限定在上述區間內。

接下來，我們來求解arctanx的導數。根據高等數學中的基本公式，可以得出arctanx的導數為：

\[ \fraczznf9l7pjn5{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \]

這個結果可以通過隱函數求導法或者利用復合函數求導法則得到。具體過程如下：

假設y=arctanx，則有tan(y)=x。對兩邊同時對x求導，應用鏈式法則可得：

\[ sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \]

由于sec^2(y) = 1 + tan^2(y)，而tan(y)=x，所以可以進一步化簡為：

\[ (1+x^2)\frac{dy}{dx}=1 \]

從而得到：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \]

因此，arctanx的導數就是\(\frac{1}{1+x^2}\)。

這個結論不僅對于理論學習具有重要意義，在實際應用中也極為廣泛。例如，在物理學、工程學等領域，許多問題涉及到角度變化率的計算，此時arctanx及其導數就顯得尤為重要。

總結來說，arctanx的導數是\(\frac{1}{1+x^2}\)，這一結論來源于數學的基本原理，并且通過嚴謹的推導得以驗證。希望本文能夠幫助讀者更好地理解這一知識點，并激發大家對數學的興趣與探索欲望。